Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề: Các bài toán về hệ phương trình

 Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II
 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 ax by c , a 0 (D)
 Cho hệ phương trình: 
 a' x b' y c', a' 0 (D')
 a b
 • (D) cắt (D’) Hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất.
 a' b'
 a b c
 • (D) // (D’) Hệ phương trình vơ nghiệm.
 a' b' c'
 a b c
 • (D)  (D’) Hệ phương trình cĩ vơ số nghiệm. 
 a' b' c'
 II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 x y m
Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1)
 2x my 0
 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
 2. Xác định giá trị của m để:
 a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
 b) Hệ (1) vơ nghiệm.
 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
 4. Tìm m để hệ (1) cĩ nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
 x y k 2
Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1)
 2x 4y 9 k
 1. Giải hệ (1) khi k = 1.
 2. Tìm giá trị của k để hệ (1) cĩ nghiệm là x = – 8 và y = 7.
 3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
 x y 3
Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1)
 2x my 1
 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
 2. Xác định giá trị của m để:
 a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
 b) Hệ (1) vơ nghiệm.
 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
 mx 2y 1
Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1)
 2x 3 y 1
 1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
 1 2
 2. Tìm m để hệ phương trình cĩ nghiệm x = và y = .
 2 3
 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
 CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
 CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a 0)
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a 0): 
 Hàm số y = ax2(a 0) cĩ những tính chất sau:
 • Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
 • Nếu a 0.
 Đồ thị của hàm số y = ax2(a 0):
 1 Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II
 CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
 a) Nhẩm nghiệm:
 x1 1
 • a + b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm: c .
 x 
 2 a
 x1 1
 • a – b +c = 0 pt (1) cĩ 2 nghiệm: c .
 x 
 2 a
 b) Giải với ' : 
 b
 Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac.
 2
 b' ' b' '
 • Nếu ' > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 
 1 a 2 a
 b'
 • Nếu ' = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x .
 1 2 a
 • Nếu ' < 0 phương trình vơ nghiệm.
 c) Giải với :
 Tính : = b2 – 4ac.
 b b 
 • Nếu > 0 phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x ; x 
 1 2a 2 2a
 b
 • Nếu = 0 phương trình cĩ nghiệm kép: x x .
 1 2 2a
 • Nếu < 0 phương trình vơ nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
 b
 S x x 
 1 2
 2 a
 a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) thì ta cĩ: .
 c
 P x x 
 1 2 a
 u v S
 b) Định lý đảo: Nếu 
 u.v P
 u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
 2 2 2 2
 • Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 = S – 2P.
 1 1 x x S
 • Tổng nghịch đảo các nghiệm: 1 2 .
 x1 x2 x1x2 P
 2 2 2
 1 1 x1 x2 S 2P
 • Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 2 2 2 .
 x1 x2 (x1x2 ) P
 2 2 2
 • Bình phương của hiệu các nghiệm: (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 = S – 4P.
 3 3 3 3
 • Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 (x1 x2 ) 3x1x2 (x1 x2 ) = S – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
 2 2 1 1 2 3 3
 a) x1 x2 . b) . c) (x1 x2 ) d) x1 x2
 x1 x2
 3 Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II
 • a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 .
 Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là pt cần tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương) 
 • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biến đổi ' đưa về dạng : ' = (A B)2 0,  m.
 • Kết luận: Vậy phương trình đã cho luơn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
 * Phương pháp giải:
 • Lập biệt thức ' (hoặc ).
 • Biện luận:
 + Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt khi: ' > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
 + Phương trình cĩ nghiệm kép khi ' = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
 + Phương trình vơ nghiệm khi ' < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
 + Phương trình cĩ nghiệm khi ' 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
 * Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 * Phương pháp giải:
 • Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
 • Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
 * Phương pháp giải:
 • Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
 II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
 1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m.
 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m.
Bài tập 2 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
 1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
 2. CMR: Phương trình (1) luơn cĩ nghiệm với mọi m.
 3. Trong trường hợp (1) cĩ hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
 ----------------------------------------------------------------------------------------
 CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN
 BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH 
 I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
 Các bước giải:
 1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):
 • Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
 • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
 • Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
 5 Tốn 9 – Ơn tập học kỳ II
3. Gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến và 
dây cung: (O,R) cĩ:
* Định lý: Trong một đường B· Ax tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 
trịn, số đo của gĩc tạo bởi tia 
 1
tiếp tuyến và dây cung bằng chắn »AB B· Ax = sđ »AB .
nửa số đo của cung bị chắn. 2
* Hệ quả: Trong một đường (O,R) cĩ:
trịn, gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến 
 B· Ax tạo bởi tt &dcchắnA»B 
và dây cung và gĩc nội tiếp  B· Ax A· CB
 · »
cùng chắn một cung thì bằng ACB nội tiếpchắn AB  
nhau.
4. Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong 
đường trịn: (O,R) cĩ: 
* Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên B· EC cĩ đỉnh bên trong đường trịn 
trong đường trịn bằng nửa 
 · 1 » »
tổng số đo hai cung bị chắn. BEC = (sđ BC sđ AD)
 2
5. Gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi (O,R) cĩ: 
đường trịn: B· EC cĩ đỉnh bên ngồi đường trịn 
* Định lý: Gĩc cĩ đỉnh ở bên 
 1
ngồi đường trịn bằng nửa B· EC = (sđ B»C sđ A»D)
hiệu số đo hai cung bị chắn. 2
6. Cung chứa gĩc:
* Tập hợp các điểm cùng nhìn 
đoạn thẳng AB dưới một gĩc 
khơng đổi là hai cung trịn 
chứa gĩc .
* Đặc biệt: a) A· DB ·AEB ·AFB cùng nhìn 
a) Các điểm D, E, F cùng 
 đoạn AB A, B, D, E, F cùng thuộc 
thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, 
 một đường trịn.
cùng nhìn đoạn AB dưới một 
gĩc khơng đổi Các đểm A, 
B, D, E, F cùng thuộc một 
đường trịn.
 · · · · 0
b) Các điểm C, D, E, F cùng b) ACB ADB AEB AFB 90 cùng 
nhìn đoạn AB dưới một gĩc nhìn đoạn AB A, B, C, D, E, F thuộc 
vuơng Các đểm A, B, C, D, một đường trịn đường kính AB.
E, F thuộc đường trịn đường 
kính AB.
 7