Bài tập Chuyên đề môn Toán Lớp 6 - Chuyên đề: Một số phương pháp tính tổng của dãy số

 GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
 CHUYÊN ĐỀ
 Một số phương pháp tỉnh tổng của dãy số (số học 6)
1. Xây dựng các công thức tổng quát
 1.1. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 3 + 4 +  + 100
 Giải
A = 100(100 + 1):2 = 5050
* Công thức tổng quát: A = 1 + 2 + 3 + 4 +  + n = n(n + 1) : 2
 1.2. Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +  + 210
 Giải
2A = 2 + 22 + 23 + 24 +  + 210 + 211
Khi đó 2A – A = A = 211 – 1
*Công thức tổng quát: A = 1 + a + a2 + a3 + a4 +  + an 
Nhân cả hai vế của A với a ta có a.A = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 
aA – A = ( a – 1)A = an+1 – 1. Vậy A = (an + 1 – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2)
Từ đó ta có công thức : an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + ... + an) .
* Bài tập vận dụng: Tính tổng.
 a) A 1 7 7 2 7 3 ... 7 2007
 b) B 1 4 4 2 43 ... 4100
 c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 Chia hết cho 3
 d) Chứng minh rằng: 20152015 – 1 Chia hết cho 2014
 1.3. Tính tổng của dãy số: A= 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100
 Giải
 Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào để khi trừ cho A thì một loạt các 
lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế 
với 32. GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
Nhận xét : Ở dạng 1.1 chỉ có 1 thừa số trong mỗi số hạng nên ta nhân hai vế của a với 2. 
Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1.Nên ta nhân 2 vế của A với 
3 lần khoảng cách này ta được :
3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5)
+ 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) 
 = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 -  + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
 = 9.10.11 = 990. 
A = 990:3 = 330 
Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là số 
tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp.
*Công thức tổng quát: 
 A = 1.2 + 2.3 +  + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : 3
* Bài tập áp dụng: Tính tổng: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100 
 B = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99
 C = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + 98.100 
(Gợi ý: Bài B và C khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi số hạng là 2)
 1.6. Tính tổng của dãy số: B = 12 + 32 + 52 + 72 +  + 992
 Giải
*Nhận xét: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
A = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100
A = 1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) +  + 99.(98 + 100)
A = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +  +99.99.2 = (12 + 32 + 52 + 9 + 92).2 
A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 
Theo cách giải dạng 1.1.5 ta có A = (12 + 32 + 52 + + 992).2 = 99.100.101 :3
Vậy ta có: B = 12 + 32 + 52 + + 992 = 99.100.101 :6
* Công thức tổng quát: GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
A = 1² + 2² + 3² + 4² ++ 100²
A = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 +  + 100.100 
A = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) +  + 100[(100+1)-1] 
A = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 ++ 100(100 + 1 ) – 100 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 100( 100 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 +  + 100 )
A = 100.101.102:3 – 100.101: 2 =100.101.(102:3 – 1:2) =100.101.(2.100 + 1):6
* B = 12 + 22 + 32 +  + 992
Cách 1: B = 12 + 22 + 32 +  + 992 
B = (12 + 32 + 52 +  + 992) + (22 + 42 + 62 +  + 982)
B = (99.100.101 + 98.99.100) : 6 
B = 99.100.(98 + 101):6 = 99.100.(2.99 + 1):6 
Cách 2:
B = 1² + 2² + 3² + 4² ++ 99²
B = 1.1 + 2.2 + 3.3 +4.4 +  + 99.99 
B = 1.(2-1) + 2(3-1) + 3(4-1) +  + 99[(99+1)-1] 
B = 1.2 – 1+ 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + 4.5 – 4 ++ 99(99 + 1 ) – 99 
B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99( 99 + 1 ) – ( 1 + 2 + 3 +4 +  + 99 )
B = 99.100.101:3 – 99.100: 2 =99.100.(101:3 – 1:2) =99.100.(2.99 + 1):6
*Công thức tổng quát: A = 12 + 22 + 32 +  + n2 = n.(n + 1)(2n + 1):6
*Bài tập áp dụng. Tính tổng: M = 1 + 22 + 32 + 42 + 52 + + 992
 P = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + ... + 10000 
 Q = - 12 + 22 – 32 + 42 -  - 192 + 202. 
 1.9. Tính tổng của dãy số: A = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 7.8.9 + 8.9.10
 Giải
*Nhận xét: Ở dạng toán 1.1. mỗi hạng tử của của tổng A có 1 thừa số thì ta nhận với 2 
lần khoảng cách. Ở dạng toán 1.5mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 
3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Theo cách đó , trong bài này ta nhân hai vế của A GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
A = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + 100( 1002 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + 
100 )
A = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (100 – 1 ).100.( 100 + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 
 + 100)
 2
 (100 1).100.(100 1).(100 2) 100.(100 1) 100(100 1) 
A = .... 
 4 2 2 
*Công thức tổng quát: A = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³
A = 13 – 1 + 23 – 2 + 33 – 3 + 43 – 4 + 53 – 5 ++ n3 – n + ( 1 + 2 + 3 + + n )
A = 0 + 2( 22 – 1 ) + 3( 32 – 1 ) + 4( 42 – 1 ) + + n( n2 – 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + + n )
A = 0 + 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + (n – 1 )n( n + 1 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 +  + n )
 (푛 1)푛(푛 1)(푛 2) 푛(푛 1) (푛 1)(푛 2) 1
A = + 
 4 + 2 = 푛(푛 + 1) 4 2
 푛² 푛 2 2 푛( 푛 1 ) 푛²(푛 1)² 푛(푛 1)
A = n( n + 1). = n( n + 1 ).
 4 4 = 2² = 2 ²
 푛(푛 1)
 Nhận xét : Với = 1 + 2 + 3 + 4 +  + n , nên ta có công thức tổng quát 
 2
sau: 
 A =1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + + n³ = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + n )²
2. Phương pháp dự đoán và quy nạp
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn
Sn = a1 + a2 + .... an (1)
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho 
biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải quyết bài toán
Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
 Giải
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 2
 S2 = 1 + 3 =2 
 2
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có : , , 
 10.11 10 11 11.12 11 12 99.100 99 100
 1 1 1 1 1 1 1 1 9
Do đó : S = ....... 
 10 11 11 12 99 100 10 100 100
 1 1 1 1 n
* Dạng tổng quát: Sn = ...... = 1- ( n > 1 ) 
 1.2 2.3 n(n 1) n 1 n 1
 1 1 1 1
Ví dụ 2: Tính tổng Sn = ...... 
 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)
 Giải
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
Ta có: Sn = ........ 
 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 
 1 1 1 1 1 1 1 
 Sn = ...... 
 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 
 1 1 1 n(n 3)
 Sn = 
 2 1.2 (n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2)
Ví dụ 3: Tính tổng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
 Giải
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
 3 5 2n 1
Ví dụ 4: TÍnh tổng Sn = ....... 
 (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1)2
 Giải
 2i 1 1 1
Ta có : ; i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
 i(i 1)2 i 2 (i 1) 2 GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
 Giải
C = 1.3.( 5 – 3) + 3.5.( 7 – 3) + 5.7.( 9 - 3) +  + 99.101.( 103 – 3)
C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 +  + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +  + 99.101.3 )
C = ( 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 +  + 99.101.103 ) – 3( 1.3 + 3.5 +  + 99.101)
Ví dụ 2: Tính tổng: A = 1.2 + 3.4 +  + 99.100
 Giải
 Trong bµi to¸n nµy ta kh«ng nh©n A víi mét sè mµ t¸ch ngay mét thõa sè trong 
mçi sè h¹ng lµm xuÊt hiÖn c¸c d·y sè mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh hoÆc dÔ dµng tÝnh ®­îc.
 Cách 1:
A = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 +  + (98 + 1).100
= 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 +  + 98.100 + 100
= (2.4 + 4.6 +  + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 +  + 100) 
 Cách 2:
A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +  + 99(101 - 1)
= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 +  + 99.101 - 99
= (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 +  + 99)
Ví dụ 3: Tính tổng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 +  + 99.1002 
 Giải
A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) +  + 99.100.(101 - 1)
 = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 +  + 99.100.101 - 99.100
 = (1.2.3 + 2.3.4 +  + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 99.100)
*Bài tập áp dụng : Tính tổng
 1. A = 12 + 42 + 72 + . +1002.
 2. B = 1.32 + 3.52 + 5.72 +  + 97.992.
 3. A = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 49.51+ 50.50
 4. B = 1.3 + 5.7 + 9.11 +  + 97.101 
 5. C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 +  - 97.99.101 GV: Nguyễn Văn Danh Trường THCS Phạm Đình Quy
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 
2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 
 2 3 99 100 
 b, S = 5 + 5 + 5 + ..... + 5 + 5
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
 1 1 1 1
5, S = ........ 
 1.2 2.3 3.4 99.100
 4 4 4
6, S = .... 
 5.7 7.9 59.61
 5 5 5 5
7, A = ...... 
 11.16 16.21 21.26 61.66
 1 1 1 1
8, M = ..... 
 30 31 32 32005
 1 1 1
9, Sn = ..... 
 1.2.3. 2.3.4 n(n 1)(n 2)
 2 2 2
10, Sn = ..... 
 1.2.3 2.3.4 98.99.100
 1 1 1
11, Sn = ...... 
 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3)
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
tính S100 =? 
 * Tìm x
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820