Hướng dẫn ôn tập môn Toán Lớp 9

 A. NỘI DUNG TỰ HỌC TOÁN 9 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. GÓC Ở TÂM 
 A
 Định lí: Số đo góc ở tâm 
 n m
 O bằng số đo cung bị chắn 
 AOB Sd AmB 
 B
2. GÓC NỘI TIẾP 
 B A
 Định lí: Số đo góc nội tiếp 
 m bằng nửa số đo cung bị chắn 
 O
 1
 ABC Sd AmC 
 2
 C
 HỆ QUẢ: TRONG MỘT ĐƯỜNG TRÒN 
 1) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. 
 2) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung bằng nhau thì 
 chúng bằng nhau. 
 3) Góc nội tiếp 90 có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung 
 4) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 
3. GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 
 B
 Định lí: Số đo góc tạo bởi 
 m
 O
 tiếp tuyến và dây cung bằng 
 x nửa số đo cung bị chắn 
 1
 A BAx Sd AmB 
 2
 y 3) Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một đỉnh (đỉnh đó ta xác định được) là tứ 
 giác nội tiếp 
 4) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới 
 một góc thì tứ giác đó nội tiếp. 
7. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN (CHU VI ĐƯỜNG TRÒN) 
 CR 2 hoặc Cd ( dR 2 ) 
8. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN: 
 Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo công thức: 
 Rn C
 l 
 180 3600
9. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN 
 R
 S = πR2
10. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRÒN 
 Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0 được tính theo công thức: 
 Rn2 lR
 S hay S (l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn). 
 360 2
 R
 O n°
 Bài 7: Cho (O;R), đường kính BC. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho ABC
nhọn và các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm BD, 
CE, AH cắt nhau tại K. 
 a) Chứng minh: BD, CE lần lượt là các đường cao của 
 b) Chứng minh: AD. AC = AE.AB = AH.AK 
 c) Giả sử BAC 60 . Chứng minh: DOE đều và tính bán kính đường tròn ngoại 
 tiếp tam giác trên. 
 d) Tiếp tuyến của (O) cắt AK tại I. Chứng minh O, I, D, E, K cùng thuộc một 
 đường tròn. Xác định tâm của đường tròn trên. 
Bài 8: Cho (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến SA với (O) ( A 
là tiếp điểm ) và cát tuyến SCD (SD > SC) 
 a) Chứng minh: SA2 SC. SD 
 b) Đường thẳng qua A và vuông góc với OS tại I và cắt (O) tại B. Chứng minh: 
 SC.SD = SI.SO và SB là tiếp tuyến của (O) 
 c) Gọi F là trung điểm CD; OF cắt AB tại T. Chứng minh: 4 điểm T, F, I, S cùng 
 thuộc một đường tròn. 
 d) Chứng minh: TC2 TF. TO và TC là tiếp tuyến của (O) 
Bài 9: Cho (O), đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng AB ở ngoài (O) lấy điểm D. 
Kẻ DC là tiếp tuyến tại C của đường tròn. M là điểm chính giữa cung AB ( M khác 
phía C đối với AB). CM cắt AB tại E. 
 a) Chứng minh: DC2 DB. DA 
 b) Chứng minh: OM ABvà DCE cân. 
 c) Gọi H là hình chiếu của C trên AD. Đường thẳng DM cắt (O) tại điểm thứ hai 
 là K. Chứng minh: CB là phân giác của DCH và OE.CH = HE.R 
 d) Chứng minh: HK DM 
Bài 10: Cho có ba góc nhọn và AB<AC. Đường tròn tâm O đường kính BC 
cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại E; D. 
 a) Chứng minh: AD.AC = AE.AB 
 b) Gọi H là giao điểm của BD và CE; K là giao điểm của AH và BC. Chứng 
 minh: AH  BC. 
 c) Từ A kẻ tiếp tuyến AN đến (O) với N là các tiếp điểm ( N nằm cùng phía với C 
 đối với AH) . Chứng minh: 4 điểm A, K, O, N cùng thuộc một đường tròn 
 d) Chứng minh: AN2 AH. AK và ANH AKN 
Bài 11: Trên (O) lấy 3 điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các 
cung AB, BC, CA. BP cắt AN tại I; MN cắt AB tại E. 
 a) Chứng minh: BNI cân Bài 18: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) . Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC với 
đường tròn (O) tại B và C . 
 a) CM : Tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn . 
 b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn (O) .( cát tuyến ADE không qua tâm O ; D 
 nằm giữa A và E ) . CM : AB2 = AD.AE = OA2 – R2 
 c) Gọi H là giao điểm của BC và OA . CM : Tứ giác HDEO nội tiếp . 
Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hai đường 
cao BE và CF cắt nhau tại H 
 a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm và bán 
 kính của đường tròn này. 
 b) Gọi K và Q lần lượt là giao điểm của BE và CF với đường tròn (O). Chứng 
 minh EF song song KQ. 
Bài 20: Cho đường tròn (O;R). Từ điểm M ở ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến MB và MC 
với (O) (B và C là hai tiếp điểm). 
 a/ Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp. 
 b/ Vẽ cát tuyến MKN không qua tâm O. Chứng minh: MB2 = MK. MN. 
 c/ Trên (O) lấy điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB song song với KN. AC 
cắt KN tại I. Chứng minh I là trung điểm của KN. 
Bài 21: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến 
ACD . 
 a/ CMR :AB2 = AC . AD 
 b/ Vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (O) , E là tiếp điểm . CMR : tứ giác ABOE 
nội tiếp (K) , xác định K 
 c/ Gọi I là trung điểm CD . CMR : I thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOE 
Bài 22: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm M sao 
cho OM > 2R. Kẻ dây AC của (O) vuông góc với OM tại H. MB cắt đường tròn (O) và AC 
lần lượt tại D và T. 
a) Chứng minh : MC là tiếp tuyến và tứ giác MAOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I 
của đường tròn. 
b) Đường tròn (I) cắt MB tại E ( E khác M). Chứng minh OE // AD 
c) Chứng minh : TD.TB = TM.TE 
 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN 
 DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN 
Bài 1: 
a) Tính độ dài cung 60o của một đường tròn có bán kính 2dm. 
 b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 650mm. Tuần 3 
 LUYỆN TẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 
I. LÝ THUYẾT 
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 
* Bước 1: Lập hệ phương trình 
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và điều kiện cho ẩn; 
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết; 
- Lập hệ phương trình 
* Bước 2: Giải hệ phương trình. 
* Bước 3: Đối chiếu với điều kiện để trả lời. 
II. BÀI TẬP 
Bài 1. Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường dài 156km, 
sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ 
hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô. 
Hướng dẫn. Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h). 
 3x 3y 156 x 12
Hệ phương trình : 
 y x 28 y 40
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h). 
Bài 2. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với 
vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h 
thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian dự định 
đi từ A đến B. 
Hướng dẫn. Gọi quãng đường AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y 
(giờ). (x > 0 ; y > 1). Vậy số cần tìm là 47. 
III. BAI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài 1. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. nếu vận tốc tăng thêm 
20 km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng 
lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô. 
Bài 2. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi 
ngược chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ 
nguyên vận tốc, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sễ 
gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người. 
Bài 3. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 
5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc 
và xuống dốc lúc đi và lúc về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống 
dốc. 
Bài 4. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 
là 3 đơn vị. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27 đơn 
vị. 
Bài 5. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì 
diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích 
giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. 
Bài 6. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược 
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A 
tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. 
Bài 7. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi 
đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 
20 phút. Tính quãng đường AB? 
Bài 8. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau 
và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca 
nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng 
nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h. 
TUẦN 4 
 ÔN TẬP CHƯƠNG III : HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau Bài 6. Mẹ hơn Lan 24 tuổi. 2 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan. Hỏi hiện giờ Lan bao 
nhiêu tuổi ? 
Bài 7. Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít hơn thùng thứ hai 24 lít dầu và 5 lần 
thùng thứ nhất bằng 3 lần thứ hai. Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu? 
Bài 8. Một người mua tám cái bánh và bốn chai nước, tổng số tiền phải trả là 128 nghìn 
đồng. Biết rằng giá mỗi cái bánh gấp 1,5 lần giá một chai nước. Tính giá mỗi cái bánh. 
Bài 9. Nam đem 72.000 đồng vào nhà sách mua hết bút và vở. Mỗi cây bút giá 6.000 đồng, 
mỗi quyển vở giá 12.000 đồng. Nam mua được số bút gấp đôi số vở. Tìm số bút và vở mà 
Nam đã mua
Bài 10. Có hai kho thóc, biết rằng số thóc ở kho I gấp đôi số thóc ở kho II. Nếu chuyển 30 
 8
tạ thóc từ kho I sang kho II thì số thóc còn lại ở kho I bằng số thóc ở kho II. Tính số 
 7
thóc ở mỗi kho lúc đầu. 
TUẦN 5 & TUẦN 6 
 HÀM SỐ y = ax2 (a Đ TH C A HÀ Ố ax2 (a 0) 
I. Tính chất 
1. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị của x R. 
2. Sự biến thiên: y
- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2: 
+ Đồng biến khi x > 0 
 x
 x' O y'
+ Nghịch biến khi x < 0 
+ Bằng 0 khi x = 0 (y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số) 
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2: 
+ Đồng biến khi x < 0 
+ Nghịch biến khi x > 0 
+ Bằng 0 khi x = 0 (y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số)